4.7 Zusammenfassung Kurvendiskussion

Beispiel: $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

1. Definitionsbereich $D_{f} : x \in R^{+}$

2. Nullstellen Bedingung $f (x) = 0$

\begin{aligned} 0 & = \sqrt{x} + \frac{1}{x} & ∣ \cdot x \\ 0 & = x^{1.5} + 1 & - 1 \\ - 1 & = x^{1.5} & ∣ \sqrt[1.5]{} \\ x_{0} & = 1 ⟹ Keine Lösung, da f (1) \neq 0 gilt \end{aligned}

3. Verhalten an den Grenzen von $D_{f}$ :

\begin{aligned} lim_{x \to 0} (\sqrt{x} + \frac{1}{x}) & = 0 + \infty = + \infty \\ lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x} + \frac{1}{x}) & = + \infty + 0 = + \infty \end{aligned}

Qualitative Zeichnung:

Beispiel 2: $lim_{x \to + \infty} (x^{3} - x^{2}) = + \infty$ (weil höherer Exponent entscheidend ist)

4. Extrema: Gibt es Extrema? Welche?

Da $lim_{x \to 0} f (x)$ und $lim_{x \to + \infty} f (x)$ gegen $+ \infty$ strebt, $f (x)$ stetig ist, muss der Graph einen Tiefpunkt haben.
Ableitungen
Notwendige Bedingung: $f^{'} (x) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f^{″} (x) \neq 0$

5. Wendepunkte

Ableitungen $f^{″} (x), f^{‴} (x)$
- $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 2}$
- $f^{″} (x) = - \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}} + 2 x^{- 3}$
- $f^{‴} (x) = \frac{3}{8} x^{- \frac{5}{2}} - 6 x^{- 4}$
Notwendige Bedingung: $f^{″} (x) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f^{″} (x) = 0 \land f^{‴} (x) \neq 0$

\begin{aligned} f^{″} (x) & = 0 \\ 0 & = - \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}} + 2 x^{- 3} & ∣ \cdot x^{3} & (- \frac{3}{2} + \frac{6}{2}) \\ 0 & = - \frac{1}{4} x^{\frac{3}{2}} + 2 & ∣ + \frac{1}{4} x^{\frac{3}{2}} \\ \frac{1}{4} x^{\frac{3}{2}} & = 2 & ∣ \cdot 4 \\ x^{\frac{3}{2}} & = 8 & ∣ \sqrt[3]{} \\ x & = 4 \end{aligned}

$f^{‴} (4) = \frac{3}{8} 4^{- \frac{5}{2}} - 6 \cdot 4^{- 4} = - \frac{3}{256} ⟹$ LR-Wendepunkt

Funktionswert: $\sqrt{4} + \frac{1}{4} = 2.25$
$⟹ W (4 | 2.25)$

6. Graph