[[8.3 Kurvenscharen

gebrochen rationaler Funktionen]]

Beispiel: $f_{a} (x) = \frac{x^{2} - 2 a x + 2 a^{2}}{x - a} a > 0$

Definitionsbereich: $D_{f} : x \in R ∖ {a}$

Polstelle?

\begin{aligned} z_{a} (a) = a^{2} - 2 a^{2} + 2 a^{2} \\ z_{a} (a) = a^{2} \neq 0 \end{aligned} ⟹ X_{p} = a ist Polstelle

Art der Polstelle

\begin{array}{l} lim_{\begin{array}{c} x \to + \infty \\ x < a \end{array}} \frac{x^{2} - 2 a x + 2 a^{2}}{x - a} = \frac{a^{2}}{- 0} = - \infty \\ lim_{\begin{array}{c} x \to - \infty \\ x > a \end{array}} = \frac{a^{2}}{+ 0} = + \infty \end{array}} ⟹ Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Achsenschnittpunkte

```col-md
$$
\begin{aligned}
& y \text {-Achse: } \quad x=0 \\
& \Longrightarrow f_{a}(0)=\frac{2 a^{2}}{-a} \\
& f_{a}(0)=-2 a \\
& \Longrightarrow S_{y_{0}}(0 \mid-2 a)
\end{aligned}
$$
```
```col-md
$$
\begin{align}
& X \text {-Achse: } f_{a}(x)=0 \\ \\
& \Longrightarrow \frac{x^{2}-2 a x+2 a^{2}}{x-a}=0 \\
& x^{2}-2 a x+2 a^{2}=0 \\
& x_{01/02}=a^{ \pm} \pm \sqrt{a^{2}-2 a^{2}} \\ \\
& \implies \text{ keine reelle Lösung} \\
& \implies \text{ keine Schnittpunkte mit der x-Achse}
\end{align}
$$
```

Asymptote

\begin{aligned} (x^{2} - 2 a x + 2 a^{2}) : (x - a) = x - a + \frac{a^{2}}{x - a} \\ \frac{(x^{2} - a x)}{- a x + 2 a^{2}} \\ (- a x + a^{2}) \\ a^{2} \\ ⟹ A (x) = x - a \end{aligned}

Ableitungen

1. Ableitung

\begin{aligned} u = x^{2} - 2 a x + 2 a^{2} \\ u^{'} = 2 x - 2 a \\ v = x - a \\ v^{'} = 1 \\ f_{a}^{'} (x) = \frac{(2 x - 2 a) (x - a) - x^{2} + 2 a x - 2 a^{2}}{(x - a)^{2}} \\ f_{a}^{'} (x) = \frac{2 x^{2} - 2 a x - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} + 2 a x - 2 a^{2}}{(x - a)^{2}} \\ f_{a}^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 a x}{(x - a)^{2}} \end{aligned}

2. Ableitung

\begin{aligned} u = x^{2} - 2 a x u^{'} = 2 x - 2 a \\ v = (x - a)^{2} v^{'} = 2 (x - a) \\ f_{a}^{''} (x) = \frac{(2 x - 2 a) (x - a)^{2} - 2 (x - a) (x^{2} - 2 a x)}{(x - a)^{4}} \\ f_{a}^{''} (x) = \frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - 2 x^{2} + 4 a x}{(x - a)^{3}} \\ f_{a}^{''} (x) = \frac{2 a^{2}}{(x - a)^{3}} \end{aligned}

Extrema

Notwendige Bedingung: $f_{a}^{'} (x) = 0$

\begin{aligned} ⟹ & 0 = x^{2} - 2 a x & ∣ x ausklammern \\ 0 = x (x - 2 a) \\ ⟹ & x_{e_{1}} = 0 \lor x_{e_{2}} = 2 a \end{aligned}

hinreichende Bedingung $f_{a}^{''} (x) \neq 0$

\begin{array}{r} f_{a}^{''} (0) = \frac{2 a^{2}}{- a^{3}} < 0 ⟹ Maximalstelle \\ ⟹ H_{a} (0 ∣ - 2 a) \\ f_{a}^{''} (2 a) = \frac{2 a^{2}}{a^{3}} > 0 ⟹ Minimalstelle \\ ⟹ T_{a} (2 a ∣ 2 a) \end{array}

Wendepunkte $f_{a}^{''} (x) = 0$

$⟹$ Keine Wendepunkte, da $0 \neq 2 a^{2}$

Ortskurven:

Hochpunkte: liegen anf der $y$ -Achse, da $x = 0$ gilt
Tiefpunkte: liegen im 1. Quadranten

y = x

[[8.3 Kurvenscharen

Beispiel: fa(x)=x2−2ax+2a2x−aa>0

Definitionsbereich: Df:x∈R∖{a}

Polstelle?

Art der Polstelle

Achsenschnittpunkte

Asymptote

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema

Notwendige Bedingung: fa′(x)=0

hinreichende Bedingung fa′′(x)≠0

Wendepunkte fa′′(x)=0

Ortskurven:

Beispiel: $f_{a} (x) = \frac{x^{2} - 2 a x + 2 a^{2}}{x - a} a > 0$

Definitionsbereich: $D_{f} : x \in R ∖ {a}$

Notwendige Bedingung: $f_{a}^{'} (x) = 0$

hinreichende Bedingung $f_{a}^{''} (x) \neq 0$

Wendepunkte $f_{a}^{''} (x) = 0$