Beispiel: $f (x) = x \cdot e^{1 - x}$

\begin{document}
  \begin{tikzpicture}[domain=0:4]
    \draw[very thin,color=gray] (-0.1,-1.1) grid (3.9,2);
    \draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$};
    \draw[->] (0,-1.2) -- (0,2.2) node[above] {$f(x)$};
    \draw[color=red]    plot (\x,{(\x)*exp(1-(\x))})             node[right] {$f(x) =x$};
  \end{tikzpicture}
\end{document}

Ableitungen

\begin{aligned} u (x) = x u^{'} (x) = 1 \\ v (x) = e^{1 - x} v^{'} (x) = - e^{1 - x} \\ f^{'} (x) = e^{1 - x} - x e^{1 - x} \\ f^{'} (x) = e^{1 - x} (1 - x) \\ f^{''} (x) u (x) = e^{1 - x} u^{'} (x) = - e^{1 - x} v = 1 - x v^{'} (x) = - 1 \\ f^{''} (x) = e^{1 - x} + (1 - x) - e^{1 - x} = e^{1 - x} (2 + x) \end{aligned}

Achsenschnittpunkte:

\begin{aligned} ⟹ 0 = & x \cdot e^{1 - x} \\ x_{01} = 0 & (v e^{1 - x} = 0) \\ e^{1 - x} \neq für alle x \in R \end{aligned}

Verhalten Grenzen von Df

Df: $x \in R$

\begin{aligned} lim_{x \to + \infty} (x \cdot e^{1 - x}) = 0 \\ lim_{x \to - \infty} (x \cdot e^{1 - x}) = (- \infty) (+ \infty) = - \infty \end{aligned}

Extrema:

Notwendige Bedingung $f^{'} (x) = 0$

\begin{aligned} f^{'} (x) = 0 & ⟹ 0 = e^{1 - x} (1 - x) \\ e^{1 - x} & \neq für alle x \in R \\ ⟹ 1 - x & = 0 ∣ + x \\ x_{e} & = 1 \end{aligned}

hinreichende Bedingung $f^{''} (x) \neq 0$

\begin{aligned} f^{''} (1) = e^{1 - 1} (- 2 + 1) \\ f^{''} (1) = - 1 < 0 ⟹ Maximalstelle \\ f (1) = e^{1 - 1} \\ f (1) = 1 \\ ⟹ H (1 | 1) \end{aligned}

Wendepunkte

Es muss eine Krümmungsänderung geben
Nur eine Nullstellen X0
Hochpunkt (Rechtskrümmung)
$lim f (x) = 0$

\begin{aligned} f^{''} (x) & = 0 \\ 0 & = e^{1 - x} (- 2 + x) \\ e^{n - x} & \neq 0 fúr alle x \in R \\ ⟹ & - 2 + x = 0 \\ x_{w} = 2 > 0 ⟹ RL Wendestelle \end{aligned} $ $