8.1 Allgemeines

Beispiel 1: $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = \frac{Z (x)}{N (x)}$

Definitionsbereich:

Nenner: $N (x) = X - 3 \neq 0$
$⟹ D_{f} : X \in R ∖ {3}$
Zähler: $Z (x) = 9 - 9 = 0$
$⟹$ keine gebrochen rationale Funtition

\begin{aligned} \Rightarrow f (3) & = \frac{0}{0} unbestimunter Aurdruck \\ f (x) & = \frac{(x + 3) \cdot (x - 3)}{x - 3} \\ f (x) & = \frac{(x + 3) \cdot 1}{1} \\ f (x) & = x + 3 \\ lim_{x \to 3} f (x) & = 6 \end{aligned}

Beispiel 2: $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x - 2} = \frac{Z (x)}{N (x)}$

$D_{f} : x \in R ∖ {2} N (2) = 0$ $⟹$ gebrochen rational?
Gebrochen rational? $Z (2) = 4 + 4 + 3 \neq 0 ⟹$ Definitionslücke
Verhalten in der Nähe von $x_{p}$ ? $⟹$ Polstelle $x_{p} = 2$

\begin{array}{r} lim_{x \to 2 x > 2} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x - 2} = + \infty \\ lim_{x \to 2 x < 2} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x - 2} = - \infty \\ ⟹ Polstelle mit Vorzeichenwechsel \end{array}

Verhalten fur $x ⟶ + \infty$ und $x ⟶ - \infty$ :

Polynomdivision:

\begin{aligned} (x^{2} + 2 x + 3) : (x - 2) = x + 4 + \frac{11}{x - 2} \\ - \frac{(x^{2} - 2 x)}{4 x + 3} \\ \frac{- (4 x - 8)}{11 ⟹ Rest} \end{aligned}

\begin{aligned} ⟹ & lim_{x \to + \infty} (x + 4 + \frac{11}{x - 2}) = + \infty \\ lim_{x \to - \infty} (x + 4 + \frac{11}{x - 2}) = - \infty \end{aligned}

Funktionsgleichung der Asymptote: $f (x) = \underset{Gerade}{\underset{⏟}{x + 4}} \underset{gegen Null streben}{\underset{⏟}{+ \frac{11}{x - 2}}}$

$⟹$ Graph schmiegt sich für $x \to \infty$ an $=$ Asymptote