9.1 Polynomfunktion

Beispiel

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S. 173 (6) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt $P (2 ∣ 4)$ jeweils ein Extremum. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Allgemeine Funktionsgleichung

\begin{aligned} f (x) & = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \\ ⟹ f^{'} (x) & = 3 a x^{2} + 2 b x + c \end{aligned}

Gleichungssystem

\begin{aligned} I & 0 = 3 a \cdot 4 + 2 b \cdot 2 + c^{0} \\ II & 4 = 8 a + 4 b + 2 c^{0} + d^{0} \\ III & 0 = d \\ IIII & 0 = c \end{aligned}

Bedingungen

\begin{aligned} (I) = f^{'} (2) = 0 \\ (II) = f (2) = 4 \\ (III) = f (0) = 0 \\ (IIII) = f^{'} (0) = 0 \end{aligned}

Auflösung

\begin{aligned} (I I) - (I) = 4 & = - 4 a \\ a & = 1 \end{aligned} $ $ E i n s e t z e n v o n $ a = - 1 $ i n (I) :

\begin{aligned}
\Longrightarrow 0 & =-12+46 \quad|+12|: 4 \
b & =3
\end

### Funktiongleichung

f(x)=-x^{3}+3 x^