9.2 Natürliche Exponentialfunktion

Beispiel: Funktionsterm $f(x)=a{e}^{bx}$ der den Punkt $\rho (2\mid \frac{1}{e})$ enthält und dort die Steigung 1 hat

Funktionsgleichung:

$f(x)=a{e}^{bx}$
$⟹f^{\prime \prime }(x)=ab{e}^{bx}$

Bedingungen

(I) $f(2)=\frac{1}{e}$
(II) $f^{\prime }(2)=1$

Gleichungssystem

(I) $\frac{1}{e}=a\cdot e^{2b}$
(II) $1=ab{e}^{2b}$
$⟹$ kein lineares Gleichungssystem

• Auflösen
  • Einsetzungsverfahren:

$(I)⟹a=\frac{1}{e\cdot e^{2b}}$ (III)

Einsetzen von a in II:

$⟹1=\frac{1}{e{e}^{2a}}\cdot b\cdot e^{2b}\mid \cdot c$
$⟹b=e$

Einsetzen von $b=e$ in (III)
$⟹a=\frac{1}{e^1\cdot e^{2e}}=e^{-(2e+1)}$