6.2 Abstand Punkt-Ebene

Abstract

$d (A, E) = \frac{| n_{1} a_{1} + n_{2} a_{2} + n_{3} a_{3} - n_{0} |}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}}$

Abstand -> kürzeste Verbindung
gesucht: $d (P; E) = ?$
Beispiel:
- $E : x + y + 2 z = 6$
- $P (4 | 4 | 5)$

Lot-Fußpunkt-Verfahren

Geradengleichung aufstellen
$P$ als Stützpunkt
$\vec{n}$ als Richtungsvektor
$g : \vec{x} = [\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}] + t [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}]$
Schnittpunkt $F$ berechnen $\Rightarrow F (2 | 2 | 1)$
Abstand $P$ zu $F$ berechnen
$d (P; E) = | \vec{P F} |$
$d (P; E) = \sqrt{(2 - 4)^{2} + (4 - 2)^{2} + (5 - 1)^{2}}$
$d (P; E) = \sqrt{24} LE$

Hesse‘sche Normalenform

Normalenform der Ebene mit $\vec{x} = \vec{p}$
Kurz gesagt Normalenform einer Ebene einem Normalenvektor, der die Länge 1LE hat

\begin{aligned} \Rightarrow (\vec{p} - \vec{a}) ⊙ \vec{n} = \vec{A P} ⊙ \vec{n} \\ = (\vec{A F} + \vec{F P}) ⊙ \vec{n} \\ = \vec{A F} ⊙ \vec{n} + \vec{F P} ⊙ \vec{n} \\ = | \vec{A F} | | \vec{n} | \cos_{} 90 ° + | \vec{F P} | | \vec{n} | \cos_{} 0 ° \\ d (P; E) = \frac{(\vec{p} - \vec{a}) ⊙ \vec{n})}{| \vec{n} |} \end{aligned}

Alternativ: Normierte Koordinatengleichung

Beispiel:

$E : x + y + 2 z - 6 = 0$
$P (4 | 4 | 5)$

\begin{aligned} d (P; E) = \frac{4 + 4 + (2) (5) - 6}{\sqrt{6}} \\ d (P; E) = + \sqrt{24} \end{aligned}

Weitere Fälle