5.4 Satz von Bayers

Beispiel: Bälle

$A$ : „runder Ball“
$B$ : „Fußball“

$P (A) = \frac{12}{20}$
$P_{A} (B)$

$P (A \cap B) = \frac{12}{20} \cdot \frac{5}{20} = \frac{5}{20}$

$P(B)= \frac{5}{20}$ $P_{B}(A)= \frac{5}{5}$

$P (B \cap A) = \frac{5}{20} \cdot \frac{5}{5} = \frac{5}{20}$

Allgemein

P (A \cap B) = P (A) \cdot P_{A} (B)

P (B \cap A) = P (B) \cdot P_{B} (A)

⟹ P (A) \cdot P_{A} (B) = P (B) \cdot P_{B} (A)

Beispiel

Eine Person von 10.000 ist krank. Ein Test liefert bei 90% der Kranken und bei 98% der Gesunden das richtige Ergebnis.
Eine Person bekommt ein positives Testergebnis. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie Krank?

$K$ : „Person ist krank“
$P (K) = \frac{1}{10.000}$
$P$ : „positives Testergebnis
$P_{K} (P) = 0, 9$
$P_{\overset{―}{K}} (\overset{―}{P}) = 0, 98$
$⟹ P_{\overset{―}{K}} (P) = 0, 02$

Gesucht: $P_{P} (K) = ?$

Zwischenwert: $P (P) = ?$

Baumdiagramm:

$P (P) = \frac{1}{10.000} \cdot 0, 9 + \frac{9.999}{10.000} \cdot 0, 02$
$P (P) = 2, 088 \cdot 10^{- 3}$
$⟹$
$P_{P} (K) = \frac{\frac{1}{10.000} \cdot 0, 9}{\frac{1}{10.000} \cdot 0, 9 + \frac{9999}{10.000} \cdot 0, 02}$
$P_{P} (K) = 0, 45 %$